分母の有理化

平方根

2016.05.142024.08.17

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分母に根号がある場合、根号のない形に変形します。
平方根の計算では必要になりますので、やり方をしっかり身につけてください。

→平方根　根号の変形を先にやっておきましょう。

基本的な考え方

【分母の有理化とは】

分数の分母に平方根（ルート）が含まれていると計算が難しくなってしまいますよ。そこで、分母をルートのない数（整数や分数）に変形することを「分母の有理化」と言います。

【分母の有理化の方法】

分母が1つの平方根（ルート）を含む分数を有理化するには、以下の手順で計算します。

分母と分子に、分母のルートをかけます。
分母のルートがなくなり、分子にルートが残ります。

例1） $\frac{1}{\sqrt{2}}$ を有理化してみましょう。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけることで、分母のルートがなくなり、分数が有理化されました。

例２） $\frac{3}{\sqrt{5}}$ を有理化します。

$\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

分母と分子に $\sqrt{5}$ をかけることで、分母のルートがなくなり、分数が有理化されました。

例３） $\frac{3}{4\sqrt{3}}$ を有理化し、約分してみましょう。

まず、分母と分子に[ $\sqrt{3}$ をかけて有理化します。

$\frac{3}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{3\sqrt{3}}{12}$

ここで、分子と分母に共通の因数があるか確認します。3と12の最大公約数は3であるため、分子と分母を3で割ることができます。

$\frac{2\sqrt{8}}{8} = \frac{2\sqrt{8}}{2 \times 4} = \frac{\sqrt{8}}{4}$

したがって、 $\frac{3}{4\sqrt{3}}$ を有理化すると、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ となります。

このように、分母が1つのルートを含む分数の有理化は、分母と分子にそのルートをかけるだけで簡単に行うことができます。

分母の有理化は、ルートを含む分数の計算を簡単にするために重要な技法です。この基本的な計算方法をマスターして、問題演習に活用していきましょう。

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平方根　分母の有理化　基本

空欄をうめて有理化のやり方に慣れてから問題を解きます。

平方根　分母の有理化　練習有理化の練習問題です。（現在問題を作り直しています。）

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