√ の中を自然数にする場合の文字の値、整数部分・小数部分などの応用問題ですよく出る問題パターンは決まっているので、解き方に慣れるようにしてください。
基本的な考え方と解き方
平方根の応用（√が自然数）の解説
\(\sqrt{a}\)が自然数になるためには、aが完全平方数である必要があります。
例題 \(\sqrt{28a}\) が最小の自然数となるような自然数 \(a\) を求める。
(1) 28を素因数分解します \(28 = 2^2 \times 7\)
(2) √の中を完全平方数にするには、7にaをかけて平方数にする必要があります。
(3) 最小の自然数aは7です。 よって、\(\sqrt{28 \times 7} = \sqrt{196} = 14\)
\(\sqrt{n}\)が自然数になるための条件
nが平方数（1, 4, 9, 16, 25, …）である。
または、nを素因数分解したとき、すべての素因数の指数が偶数になる
- 平方根の中が自然数になるかを判断するには、その数が完全平方数かどうかを確認します。
- 変数を含む場合は、完全平方数になるような変数の値を探します。
- 素因数分解を活用すると、効率的に解を見つけることができます。
平方根の応用（整数部分・小数部分）の解説
\(\sqrt{a}\) を小数で表したとき、整数部分は \(\sqrt{a}\) 以下の最大の整数となります。
例題：\(\sqrt{29}\) を小数で表したとき、その整数部分の数を求める。
(1) \(5^2 = 25\) と \(6^2 = 36\) より、
(2) \(5^2 < 29 < 6^2\)
(3) したがって、\(5 < \sqrt{29} < 6\) よって、\(\sqrt{29}\) の整数部分は 5 です。
小数部分の求め方： 小数部分 = \(\sqrt{a}\) – 整数部分
- 平方根の整数部分を求めるには、その数を挟む2つの平方数を見つけます。
- 小数部分は全体から整数部分を引いて求めます。
- これらの概念を理解することで、平方根を含む式の計算がより簡単になります。
少し難しい部分もありますが、定期テストや入試でよく出題される平方根の応用問題になります。いろいろな問題を解いて理解していくようにしましょう。
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平方根の利用１ （√ が自然数になるようにする）
標準問題
応用問題
平方根の利用２ （整数部分、小数部分）
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