2次方程式ー解の公式

解の公式を用いて２次方程式を解く問題です。

＊解の公式の導き方は定期テストに出題されることも多いので、自分で式変形をして解けるようにしておきましょう。

二次方程式の解の公式を求める方法

二次方程式

ax^2 + bx + c = 0

の解き方を考えてみます。

ステップ1: 式を整理する

まず、

ax^2

の項を左側に残して、他の項を右側に移動します。

ax^2 = -bx - c

ステップ2: $a$ で割る

両側を

a

で割ります（

a

は0ではありません）。

x^2 = -\frac{b}{a}x - \frac{c}{a}

ステップ3: $x$ の項を左側に移動

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

ステップ4: 平方完成の準備

左側を完全な二乗の形にするために、 $x^2$ を両側に足します。

なぜこの数を足すのかというと、 $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$ の形にするためです。

$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

ステップ5: 左側を因数分解

左側が完全な二乗の形になりました。 $(x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

ステップ6: 右側を計算

右側の分数を計算します。 $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

ステップ7: 平方根をとる

両側の平方根をとります。ただし、平方根は正負両方の可能性があるので、±をつけます。 $x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

ステップ8: $x$ について解く

$\frac{b}{2a}$ を左側に移動させます。 $x = -\frac{b}{2a} \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

ステップ9: 最終的な形

分数の中をきれいにします。

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

これが二次方程式の解の公式です！

覚え方のコツ

分子の最初は　– $b$
その後に　±（プラスマイナス）がつく
$\sqrt{b^2 - 4ac}$ を忘れずに
分母は常に $2a$

この公式を使えば、 $a$ , $b$ , $c$ の値を知っているだけで、どんな二次方程式も解くことができます。練習して使いこなしましょう！

これが二次方程式の解の公式です。この公式を使うと、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を代入するだけで、二次方程式の解を求めることができます。

注意点：

$b^2 - 4ac$ は判別式と呼ばれ、解の性質を決定します。
判別式が正の場合、2つの異なる実数解を持ちます。
判別式が0の場合、重解（同じ値の解が2つ）を持ちます。
判別式が負の場合、実数解を持ちません。

この解の公式を覚えておくと、複雑な二次方程式も素早く解くことができます。

その他の２次方程式の解き方

練習問題をダウンロードする

＊画像をクリックするとPDFファイルをダウンロードできます。

＊問題はリニューアルする予定ですのでしばらくお待ちください。

解の公式の導き方

解の公式を導くプリント。ヒントがなくても自分で式変形出来るように練習してください。

解の公式を用いた計算１

解の公式を使って２次方程式を解く問題です。

＊公式は何も見ないでも自然に使えるようになるまで、身につけるようにしてください。

解の公式を用いた計算２

xの係数が偶数の場合には，計算の最後で2で約分する必要があるので，解の公式を別に用意して，計算を楽にすることが出来ます。

→中学では習わない内容ですが、高校ですぐに使うようになりますし、計算を楽にするためにも余裕がある場合はこの計算も出来るように練習してください。