２次方程式の解き方 ー因数分解を利用する

２次方程式の解き方　ー因数分解を利用する

中３数学

2016.06.152024.08.22

因数分解を利用した2次方程式の解き方の練習問題です。

因数分解の基本が分かっていれば、確実に出来るようになりますので、しっかり練習しましょう。

基本的な考え方と解法

二次方程式は、次のような形をしています：

$ax^2 + bx + c = 0$

ここで、 $a$ , $b$ , $c$ は数字で、 $a$ は0ではありません。

因数分解を使って二次方程式を解くには、次の手順で行います：

例えば、次の二次方程式を解いてみましょう：

$x^2 + 5x + 6 = 0$

すでに $ax^2 + bx + c = 0$ の形なので、そのまま因数分解します。
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
ここで大事なポイント：掛け算の結果が0になるのは、掛けている数のどちらかが0の時です。だから、 $x + 2 = 0$ または $x + 3 = 0$ のどちらかが成り立てばいいのです。 $x + 2 = 0$ なら $x = -2$ $x + 3 = 0$ なら $x = -3$

したがって、この二次方程式の解は $x = -2$ と $x = -3$ です。

$(x - 2)^2 = 2x^2 + 7$ の解き方を考えます。

左辺を展開します： $x^2 + 5x - 4x - 20 = 5x + 6$ $x^2 + x - 20 = 5x + 6$
右辺の項を左辺に移項します： $x^2 + x - 20 - (5x + 6) = 0$ $x^2 + x - 20 - 5x - 6 = 0$ $x^2 - 4x - 26 = 0$
latex]x^2 – 4x – 26[/latex] を因数分解します。

$-26$ の因数で和が $-4$ になる組み合わせを探します： $-13$ と $9$ が条件を満たします。

よって、次のように因数分解できます： $x^2 - 4x - 26 = (x - 13)(x + 9)$
$(x - 13)(x + 9) = 0$ 　となり

この式が成り立つのは、 $x - 13 = 0$ または $x + 9 = 0$ のときです。