因数分解を利用した2次方程式の解き方の練習問題です。
因数分解の基本が分かっていれば、確実に出来るようになりますので、しっかり練習しましょう。
基本的な考え方と解法
1. 二次方程式とは
二次方程式は、次のような形をしています：
\(ax^2 + bx + c = 0\)
ここで、\(a\), \(b\), \(c\) は数字で、\(a\) は0ではありません。
2. 因数分解の手順
因数分解を使って二次方程式を解くには、次の手順で行います：
- 二次方程式を \(ax^2 + bx + c = 0\) の形に整理します。
- 左側を因数分解します。
- 因数分解した式を \((x + p)(x + q) = 0\) の形にします。
- \(x + p = 0\) と \(x + q = 0\) をそれぞれ解いて、\(x\)の値を求めます。
3. 具体例
基本的な問題
例えば、次の二次方程式を解いてみましょう：
\(x^2 + 5x + 6 = 0\)
- すでに \(ax^2 + bx + c = 0\) の形なので、そのまま因数分解します。
- \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
- \((x + 2)(x + 3) = 0\)
- ここで大事なポイント： 掛け算の結果が0になるのは、掛けている数のどちらかが0の時です。 だから、\(x + 2 = 0\) または \(x + 3 = 0\) のどちらかが成り立てばいいのです。 \(x + 2 = 0\) なら \(x = -2\) \(x + 3 = 0\) なら \(x = -3\)
したがって、この二次方程式の解は \(x = -2\) と \(x = -3\) です。
複雑な問題 展開してから解く方法
\((x - 2)^2 = 2x^2 + 7\)の解き方を考えます。- 左辺を展開します： \(x^2 + 5x - 4x - 20 = 5x + 6\) \(x^2 + x - 20 = 5x + 6\)
- 右辺の項を左辺に移項します： \(x^2 + x - 20 - (5x + 6) = 0\) \(x^2 + x - 20 - 5x - 6 = 0\) \(x^2 - 4x - 26 = 0\)
-
latex]x^2 – 4x – 26[/latex] を因数分解します。
\(-26\) の因数で和が \(-4\) になる組み合わせを探します： \(-13\) と \(9\) が条件を満たします。
よって、次のように因数分解できます： \(x^2 - 4x - 26 = (x - 13)(x + 9)\)
-
\((x - 13)(x + 9) = 0\) となり
この式が成り立つのは、\(x - 13 = 0\) または \(x + 9 = 0\) のときです。
4. 注意点
全ての二次方程式が簡単に因数分解できるわけではありません。因数分解が難しい場合は、以下の方法を使用します
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因数分解による解き方１
基本的な因数分解による解き方です。
因数分解による解き方2
式を展開してから整理して因数分解をする、やや複雑な問題になります。
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