因数分解を利用した2次方程式の解き方の練習問題です。
因数分解の基本が分かっていれば、確実に出来るようになりますので、しっかり練習しましょう。
基本的な考え方と解法
1. 二次方程式とは
二次方程式は、次のような形をしています:
ax^2 + bx + c = 0
ここで、a, b, c は数字で、a は0ではありません。
2. 因数分解の手順
因数分解を使って二次方程式を解くには、次の手順で行います:
- 二次方程式を ax^2 + bx + c = 0 の形に整理します。
- 左側を因数分解します。
- 因数分解した式を (x + p)(x + q) = 0 の形にします。
- x + p = 0 と x + q = 0 をそれぞれ解いて、xの値を求めます。
3. 具体例
基本的な問題
例えば、次の二次方程式を解いてみましょう:
x^2 + 5x + 6 = 0
- すでに ax^2 + bx + c = 0 の形なので、そのまま因数分解します。
- x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
- (x + 2)(x + 3) = 0
- ここで大事なポイント: 掛け算の結果が0になるのは、掛けている数のどちらかが0の時です。 だから、x + 2 = 0 または x + 3 = 0 のどちらかが成り立てばいいのです。 x + 2 = 0 なら x = -2 x + 3 = 0 なら x = -3
したがって、この二次方程式の解は x = -2 と x = -3 です。
複雑な問題 展開してから解く方法
(x - 2)^2 = 2x^2 + 7の解き方を考えます。- 左辺を展開します: x^2 + 5x - 4x - 20 = 5x + 6 x^2 + x - 20 = 5x + 6
- 右辺の項を左辺に移項します: x^2 + x - 20 - (5x + 6) = 0 x^2 + x - 20 - 5x - 6 = 0 x^2 - 4x - 26 = 0
-
latex]x^2 – 4x – 26[/latex] を因数分解します。
-26 の因数で和が -4 になる組み合わせを探します: -13 と 9 が条件を満たします。
よって、次のように因数分解できます: x^2 - 4x - 26 = (x - 13)(x + 9)
-
(x - 13)(x + 9) = 0 となり
この式が成り立つのは、x - 13 = 0 または x + 9 = 0 のときです。
4. 注意点
全ての二次方程式が簡単に因数分解できるわけではありません。因数分解が難しい場合は、以下の方法を使用します
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因数分解による解き方1
基本的な因数分解による解き方です。
因数分解による解き方2
式を展開してから整理して因数分解をする、やや複雑な問題になります。
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