二次方程式ー平方に変形する（平方完成）による解き方

２次方程式

2016.06.222024.08.22

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2次方程式を平方完成平方の形変形して解く方法です。この方法は少し難しく感じるかもしれませんが、順を追って理解していきましょう。

基本的な考え方

$x^2 - 2x = 4$ を $^2 = 5$ の形にして解く方法を考えます。

考え方

$x^2 - 2x$ は $(x-1)^2$ を展開したときの $x^2$ と $-2x$ の部分に似ています。
$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ です。つまり、 $x^2 - 2x$ に 1 を足せば完全平方式になります。
そこで、両辺に 1 を足します： $x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$
左辺は $(x-1)^2$ の形になり、右辺は 5 になります： $(x-1)^2 = 5$
この形から解を求めます： $x - 1 = \pm \sqrt{5}$
$x$ について解くと： $x = 1 \pm \sqrt{5}$
よって、解は： $x = 1 + \sqrt{5} \text{ または } x = 1 - \sqrt{5}$

この平方完成の考え方は、高校数学でも重要になります。例えば、2次関数のグラフの頂点を求めるときなどに使います。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使うことが多くなりますが、平方完成の基本的な考え方をしっかり理解しておくと、様々な場面で役立ちます。

解の公式を使った解き方

練習問題をダウンロードする

画像をクリックするとPDFファイルをダウンロード出来ます。

平方完成の基本

基本的な平方に完成する練習プリントです。

平方に変形する（平方完成）による解き方練習

実際に平方完成をしてから２次方程式を解いてみます。

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