平均と図形に関する一次方程式の文章題は、中学数学でよく出題されます。これらの問題を解くためのポイントと例題を紹介します。
平均に関する問題の解き方
平均の問題では、以下の関係式を覚えておくと便利です：
平均 = 合計 ÷ 個数
または
合計 = 平均 × 個数
例題：平均に関する問題
男女合わせて30人のクラスで数学のテストを行ったところ、全員の平均点は70点で、男子の平均点は74点、女子の平均点は64点でした。男子の人数を求めなさい。
問題の解き方
情報の整理を整理してみる
-
- クラスの人数：30人
- クラス全体の平均点：70点
- 男子の平均点：74点
- 女子の平均点：64点
未知数の設定をする
男子の人数をx人とする。
方程式を立てる
- 女子の人数：30 - x人
- 男子の合計点：74x
- 女子の合計点：64(30-x)
- クラス全体の合計点：70 \times 30 = 2100
[男子合計点]＋[女子合計点]＝[クラス合計点] という関係から、
74x + 64(30-x) = 2100方程式を解く
- 74x + 64(30-x) = 2100
- 74x + 1920 - 64x = 2100
- 10x + 1920 = 2100
- 10x = 180
- x = 18
答えを確認：
男子18人、女子12人で、合計30人になることを確認。
- 男子の人数：x = 18人
- 女子の人数：30 - x = 30 - 18 = 12人
- 合計人数：18 + 12 = 30人
- 男子の合計点：74 \times 18 = 1332点
- 女子の合計点：64 \times 12 = 768点
- クラス全体の合計点：1332 + 768 = 2100点
- クラス全体の平均点：2100 \div 30 = 70点
したがって、男子の人数は18人です。この結果は問題の条件をすべて満たしています
図形に関する問題の解き方
図形の問題では、以下のポイントに注意しましょう：
- 図を描く：問題文の情報を図に表すことで、関係性が明確になります。
- 変数の設定：求めたい長さや面積をxとおきます。
- 等式を立てる：図形の性質（面積の公式など）を使って等式を作ります。
図形問題の例
長方形の縦の長さが横の長さより2cm長く、周りの長さが32cmです。縦と横の長さを求めなさい。
考え方
- 横の長さをx cmとおく
- 縦の長さはx＋2 cm
- 周りの長さの式：2x + 2(x+2) = 32
- 方程式を解いてxを求める
方程式を解く
2x + 2(x+2) = 32 2x + 2x + 4 = 32 4x + 4 = 32 4x = 28 x = 7縦の長さも計算する
横の長さ：x = 7 cm 縦の長さ：x + 2 = 7 + 2 = 9 cm
したがって、長方形の横の長さは7cm、縦の長さは9cmです。
答えを確認
周りの長さ = 2 \times 7 + 2 \times 9 = 14 + 18 = 32 cm
文章題を解く際のポイント
- 情報の整理：問題文から必要な情報を抜き出し、整理します。
- 適切な変数設定：求めたい値をxとおきます。
- 関係式の利用：平均や図形の公式を適切に使用します。
- 方程式を立てる：整理した情報を使って方程式を作ります。
- 解の妥当性確認：得られた解が問題の条件を満たしているか確認します。
これらのポイントを意識しながら練習問題に取り組むことで、平均や図形に関する一次方程式の文章題を解く力が身につきます。
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